関数空間（Function Space）、上下界定理とサン・ブナンの原理

次の４種類のベクトルを考える。

これらに対して次の不等式が成立する。

上下界ではさまれた項の||V_xy||²は(c)図に対応したもので合力が０の外力が作用した場合の変形エネルギーの２倍を意味している。この関係式は次の問題とむすびついている。

N.J.Hoffは図-5に示すトラスの左端部に合力・合モーメントが０の力を加えた場合を計算し、それによる影響を調べた^[13]。その結果、破線の部材がないと、右端部でも無視できない軸力の生じること、又、外殻に相当する部分の破線部を補強しても効果が無く、内部隔壁に相当する破線部が補強されることにより急速に影響が薄れていくことを示した。Y.C.FungはSaint-Venantの原理についての既往の研究を丁寧に紹介している^[14]。（訳本に大いにお世話になった^[15]。）ただしFungによるHoffへの評価は、従来の多くの考え方と整合していることの再確認にとどまっている。それはA.E.H.Loveにより次のように表現されたSaint-Venantの原理^[16]の証明に関する多くの議論との整合性である。

According to this principle, the strains that are produced in a body by the application, in a small part of its surface, of a system of forces statically equivalent to zero force and zero couple, are of negligible magnitude at distances which are large compared with the linear dimensions of the part.

しかしHoffの結論は整合性ではない。結論では、当時（1945年）簡略法でなされていたモノコックの機体解析をきちんとする必要性を説いていた。離散系においては静的等価な置き換えを安易にしてはならないことを示したものである。とは言え、手回し計算機では５０元程度の連立１次方程式を解くのが精一杯。電子計算機ENIACの誕生が1946年、さらに後退翼の解析を目的とした思われる有限要素法の発案が1956年である（本コラムVol.24、FEM のルーツと「たわみ角法」を参照）。このHoffの論文が構造解析の進展においてどの程度影響を与えたかは定かでない。

ところで、図-1、図-2では「離散応力」「離散歪」なる用語を用いている。応力法系では確かにこれらに相当する概念は現れる。「離散応力」は剛体的釣合から独立したものであり、「離散歪」は剛体的変形では変化しない値である。しかし、どこかの文豪の猫ではないがきちんとした名前がない。そこで筆者は定義と名前付けを試みた。定義はすんなりといくがどうも名前付けがもう一つである。又、それらを基本に「離散体」と呼ぶモデルを組み立てた^[17]。（本コラムのシリーズではそのモデルから得られた成果も多く含まれている。）

ちなみに、本稿での離散関数空間は、家元のJ.L.Synge先生がらのコメントをいただいている。本コラムVol.16（2009.11.12）「エネルギー誤差の分かっている近似解の話し」では、その抜粋を引用したが全文を付記しておく（写真-1）。

話をはじめに戻す。大広間に藁を並べていくように手堅く数値計算や実験を重ねていくか、一本のローソクを見つけようとするかは思案のしどころかもしれない。おっと、そんなことに拘らず、両方平行という手もありますよ。