vol.34 行列(Matrix)とトポロジー(Topology)と鷲尾先生

ところで、奇妙に聞こえるかも知れないが、離散系には図-2のように部分構造が何故に有用なのだろうか？　もし、万有引力のように全ての節点間で相互作用が働いていたとしたらどうだろう？　節点間相互作用の関係の「あるなし」を点と線で表すならグラフ理論でいうと完全グラフ（complete graph [6]）に相当する。剛性行列でいうならフルマトリックスだ。もはや部分構造を切り出すことはできない。つまりユニット分割法（もしくはブロック消去法）がメモリーの有効利用に役立つのは相互作用の希薄性（sparse 性）を前提としている。そして「部分」が生まれると次に「部分」の「内部」「境界」「外部」といった概念も付随してくる。まさに数学の根幹をなす一般位相（general topology)の世界である[7,8]。ブルバキの数学原論でも、まず「集合」があって、すぐ次に「位相」がくる。後に延々と続く議論の展開に都合が良いからであろう。例えば、点と点の間に何らかの関係（例えばユークリッド距離やグラフ距離など）や点近傍や連続もしくは連結の概念などが与えられれば（空間に）位相が導入されたことになる。

同じトポロジーでも、連続変換群によって不変的な性質を論じるホモトピーやホモロジーなどの概念を据えた「位相幾何学」[9]はこの一般位相と異なるようにみえる。例のドーナツとコーヒーカップが同じというポアンカレ発案による「やわらかい」幾何学だ。トポロジーといえばこちらを連想する方が多いはずだ。しかし、両者ともトポロジーに包含される。フランスのナンシーはアール・ヌーボーの拠点で芸術の新しいいぶきの地である。その地で1904年に発表された「ポアンカレ予想」は芸術と数学の違いこそあれ「やわらかい」因縁で結びついているのかも知れない。その予想は白熱した議論[10]を生み、トポロジーを広大な領域に広げると同時に、我々を夢の世界へといざなう。まさしく夢のような、である。

離散系の部分構造はともかく、固体の力学にも領域とかその表面が無造作に定義されている。これは一体どういうことだろう？

興味深い研究があった[11]。量子力学で用いるラチス構造[12]に「最」近傍力のみ(隣あったparticle 間のみの相互作用)を与えて、ラチスの間隔を極限小にすると弾性体が得られる。つまり、固体の仮想断面力などは最近傍力という前提を無条件で用いている。もし強力な磁性体なら遠隔力も作用するので仮想断面や表面の釣り合いなどに関する力学的な意味はぐっと薄れることになる。こう考えると、弾性体や弾塑性体は重力は別として遠隔力が働かないと言う意味で離散系より単純な構造であるともいえる。

再び話を図-2に戻す。この方法を動的な３次元問題へと拡張した[13]。そうこうしているうちに新種の離散化モデルである剛スプリングモデルが川井先生により発案された[14]。ここで、節点とは、要素とは、と改めて考え直し、統一的な形式で再定義した[15]。

鷲尾先生は「構造力学から古典解析力学に寄与するところがあるとすればトポロジー的な扱いだ。これを公理的に整理するのが君の仕事だ。」と謎の言葉を残して1971年に退官され、その後、口を出されなかった。非力故、学位論文提出は相当遅くなってしまった。

文頭の会話でのポアンカレの三部作は暗に読むように示唆されたものだ。行列に関する論文[3,4,5]を読むように言われなかったのは、ＦＥＭで得意になって？いるようだから水をさすのも・・程度だったのではなかろうか。そして、何でも、やってみたい事は一度やってみる。これは自慢のアイアンを削ることでその気迫を教えてくれたのかもしれない。超高層の鉄筋の一本一本から杭、地盤にいたるまでありのままモデル化して解析に挑戦した動機も、それ以外にあれやこれや挑戦したのも、このアイアン削りに繋がっていると今では確信している。
（本文の後半はかなりはしょっている。一部、私の独断も含まれているので、どうか眉にツバをつけて・・）